Centralizzatore

In algebra, e più specificamente in teoria dei gruppi, si intende per centralizzatore (o "centralizzante") di un dato elemento ${\displaystyle g}$ appartenente ad un gruppo ${\displaystyle (G,*)}$ l'insieme:

${\displaystyle Z(g):=\{h\in G\mid h*g=g*h\}}$

In altre parole, ${\displaystyle Z(g)}$ è l'insieme degli elementi di ${\displaystyle G}$ che commutano con ${\displaystyle g}$.

Tale insieme si denota solitamente con ${\displaystyle Z(g)}$, in sintonia con la convenzione di utilizzare la lettera ${\displaystyle Z}$ (senza parametro) per indicare il centro di un gruppo (convenzione che a sua volta deriva dal tedesco Zentrum, centro).

Proprietà del centralizzatore

Il centralizzatore di un qualsiasi elemento di ${\displaystyle G}$ è un sottogruppo, e la verifica di questo fatto è semplice: siano ${\displaystyle h_{1}}$ e ${\displaystyle h_{2}}$ due elementi appartenenti al ${\displaystyle Z(g)}$. Allora:

${\displaystyle (h_{1}*h_{2})*g=h_{1}*(h_{2}*g)=h_{1}*(g*h_{2})=(h_{1}*g)*h_{2}=g*(h_{1}*h_{2})\Rightarrow h_{1}*h_{2}\in Z(g)}$

Inoltre, se per assurdo ci fosse un elemento ${\displaystyle h}$ tale che ${\displaystyle h}$ commuti con ${\displaystyle g}$ ma il suo inverso no, avremmo:

${\displaystyle g*e=g*h*h^{-1}=h*g*h^{-1}\not =h*h^{-1}*g=g}$, dove ${\displaystyle e}$ è l'identità del gruppo, e quindi ${\displaystyle g*e\not =g}$ è un assurdo.

Infine, l'identità commuta con ogni elemento del gruppo, quindi ${\displaystyle \forall g\in G,e\in Z(g)}$.

Il centralizzatore di un elemento si dice banale se coincide con il gruppo stesso. I centralizzatori sono evidentemente tutti banali nei gruppi abeliani, ed in generale il centralizzatore di un elemento ${\displaystyle g}$ è banale se e solo se ${\displaystyle g}$ appartiene al centro del gruppo.

Normalizzatore

Un concetto correlato è quello di normalizzatore, indicato con N_G(S) o semplicemente con N(S), la cui definizione si ottiene da quella di 'centralizzatore', sostituendo però il singolo elemento g con un sottoinsieme S di G (non necessariamente un sottogruppo di G).

Definizione

Il normalizzatore di S in G è quindi l'insieme N_G(S) = {x ∈ G : xS = Sx}. Anche in questo caso, come si può banalmente dimostrare, N(S) è un sottogruppo di G. Ancora più banale è constatare che la definizione sussume quella di 'centralizzatore' (è sufficiente sostituire g con il singoletto ${\displaystyle \{g\}}$).

Il normalizzatore deve il suo nome al fatto che se il sottoinsieme S è anche un sottogruppo di G, allora N(S) è il più grande sottogruppo di G che abbia S come sottogruppo normale. Il normalizzatore non deve essere confuso con la chiusura rispetto al coniugio.

Sottogruppo auto-normalizzante

Un sottogruppo H di G è detto un sottogruppo auto-normalizzante di G se N_G(H) = H.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Centralizer, su MathWorld, Wolfram Research.